Analyse discriminante linéaire ou Regression logistique

Supposons que l'on dispose d'iris de Paris (en population >100khabts) et qu'on veuille pouvoir les classer selon leurs caractéristiques sociodémos :

• Population
• taux de chômage
• Etudiants
• CSP
• etc...

Une fois, les iris classés, on se demande si l'on peut transporter cette typologie à une autre grande ville (Lyon) par exemple : Il faudrait alors pouvoir utiliser un modèle d'affectation des iris selon leurs caractéristiques respectives à des classes prédéfinies. Le choix de la méthode dépend en général dans ce cas de ... pas grand chose comme indiqué ici. L'analyse discriminante ou une régression logistique, ou un SVM, pour ne citer que ces trois méthodes, ferait très bien l'affaire; Mais les résultats sont-ils identiques ou mieux, quelle est la méthode qui commet le moins d'erreur et pourquoi?

On va tester deux méthodes ici :

• L'analyse discriminante 
• La régression logistique multinomiale

Le programme :
# Etape 1 : Réduction de la dimension par une ACP pour diminuer le nombre de variables
# Etape 2 : CAH sur les facteurs de  l'ACP --> Définition des classes
# Etape 3: Analyse discriminante pour trouver les règles d'affectation aux classes
# Etape 4: Reg. log. pour trouver les mêmes règles d'affectation
# Etape 5: Comparaison des résultats des méthodes sur un échantillon test et mesure du taux de mal classés




1. Réduction de la dimension

# Etape 1 : Réduction de la dimension
require(ade4)
Vm.acp <-dudi.pca(df=Vm,center=TRUE,scale=TRUE,scan=FALSE)
# Eboulis des valeurs propres
screeplot(Vm.acp,type ="l", main = 'choix du nombre d axes')
nbaxes =3;
Vm.acp <-dudi.pca(df=Vm,center=T,scale=T,nf=nbaxes,scannf=FALSE)
s.corcircle(Vm.acp$co,xax=1,yax=3,clabel=0.7,sub="C. de corr des variables",possub="topright")
summary(Vm.acp)
New.vm<-Vm.acp$li

2. CAH sur les facteurs de l'ACP

# CAH sur les facteurs de l'ACP
preclus<-dist(New.vm)**2 #  La CAH op?re sur les distances
cah.vm<-hclust(d=preclus,method="ward")
# Visualisation de la CAH
par(mfrow=c(1,1))
nbclasses.fi =3
groups<-cutree(cah.vm,k=nbclasses.fi)
plot(cah.vm)
rect.hclust(cah.vm,k=nbclasses.fi,border="blue")

Les résultats de la classif

# Rattachement des groupes pour chacun des iris
> discrim.vm<-cbind(Vm,cluster=as.factor(groups))
> table(discrim.vm$cluster)

  1   2   3 
180 483 250 

3. Analyse discriminante pour affectation dans les classes

> index <- sample(nrow(discrim.vm), nrow(discrim.vm)*.70)
> #Echantillon d'apprentissage
> appren <- discrim.vm[index, ]
> #Echantillon de test
> test <- discrim.vm[-index, ]
> vm.disc= f.lda(appren[,-29],groups=appren$cluster)
> # Matrice de confusion
> pred.vm <-predict(vm.disc,newdata=test)
> # Taux  d'erreur
> Tx_err <- function(y,ypred){
+ mc <- table(y,ypred)
+ error <- 100*(mc[1,2]+mc[2,1])/sum(mc)
+ print(mc)
+ print(paste(round(error,2),"%",sep =""))
+ }
> Tx_err(test$cluster,pred.vm$class)
   ypred
y     1   2   3
  1  47   4   1
  2   3 142   2
  3   0  11  64
[1] "2.55%"
 
Une erreur de prévision de 2% avec une analyse discriminante
 
4. Avec une régression logistique multinomiale
 
# Avec une régression logistique multinomiale:
> # Avec une régression logistique multinomiale:
> library(nnet)
> logi=multinom(cluster~., data = appren)
# weights:  90 (58 variable)
initial  value 702.013252 
iter  10 value 113.648468
iter  20 value 75.506364
iter  30 value 69.704088
iter  40 value 65.256664
iter  50 value 62.358589
iter  60 value 61.152375
iter  70 value 60.246843
iter  80 value 59.528363
iter  90 value 58.957304
iter 100 value 58.452446
final  value 58.452446 
stopped after 100 iterations
> pp = predict(logi,newdata=test)
> Tx_err(test$cluster,pp)
   ypred
y     1   2   3
  1  51   0   1
  2   1 140   6
  3   1  12  62
[1] "0.36%"
 
 
Verdict : La reg. log. fait beaucoup mieux que l'analyse discriminante.
 
Certains auteurs  avaient déjà commencé à traiter la question. Ils voyaient l'analyse discriminante linéaire comme un cas particulier de la régression logistique (ce avec quoi je ne suis pas totalement d'accord, car aucune de ces deux méthodes ne s'affranchit de l'hypothèse forte de normalité et utilise les moments d'ordre deux à chaque fois)
Quelques conclusions néanmoins  intéressantes :

1. Lorsque le nombre de paramètre à estimer est important, le temps que met une reg log peut être 1,5 fois plus important que l'ADL du fait de l'algo itératif
2. La rég. log. peut être plus précise sur de petits échantillons, car du fait des modalités de référence, le nombre de paramètres à estimer est plus faible que si l'on utilise une ADL
 

GT